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(2013•安徽)如图所示,质量为M倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上,底

3已有 2902 次阅读  2014-05-17 21:02   标签物理  高中  牛顿定理  高中物理  必修一  物理必修一  高一  高中高一  高中必修一 
(2013•安徽)如图所示,质量为M倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上,底部与地面的动摩擦因数为μ,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块.压缩弹簧使其长度为
3
4
l时将物块由静止开始释放,且物块在以后的运动中,斜面体始终处于静止状态.重力加速度为g.
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度;
(2)选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标轴,用x表示物块相对于平衡位置的位移,证明物块做简谐运动;
(3)求弹簧的最大伸长量;
(4)为使斜面始终处于静止状态,动摩擦因数μ应满足什么条件(假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力)?


分析:(1)物体平衡时,受重力、支持力和弹簧的弹力,三力平衡,根据平衡条件并结合正交分解法和胡克定律列式求解;
(2)简谐运动的回复力满足F=-kx形式;
(3)简谐运动具有对称性,先求解出振幅,然后确定最大伸长量;
(4)当滑块处于任意位移x处时,能保持静止即可,对斜面体受力分析后根据平衡条件列式求解,然后将最大位移打入即可.

解:(1)物体平衡时,受重力、支持力和弹簧的弹力,根据平衡条件,有:mgsinα=k•△x
解得:x
mgsinα
k

故弹簧的长度为l+
mgsinα
k

(2)物体到达平衡位置下方x位置时,弹力为:k(x+△x)=k(x+
mgsinα
k
);
故合力为:F=mgsinα-k(x+
mgsinα
k
)=-kx;
故物体做简谐运动;
(3)简谐运动具有对称性,压缩弹簧使其长度为
3
4
l时将物块由静止开始释放,故其振幅为:
A=
1
4
l+△x
1
4
l+
mgsinα
k

故其最大伸长量为:A+△x=(
1
4
l+
mgsinα
k
)+
mgsinα
k
l
4
+
2mgsinα
k

(4)设物块位移x为正,斜面体受重力、支持力、压力、滑动摩擦力、静摩擦力,如图

根据平衡条件,有:
水平方向:f+FN1sinα-Fcosα=0
竖直方向:FN2-Mg-FN1cosα-Fsinα=0
又有:F=k(x+△x),FN1=mgcosα
联立可得:f=kxcosα,FN2=Mg+mg+kxsinα
为使斜面体保持静止,结合牛顿第三定律,应该有|f|≤μFN2,所以
μ≥
|f|
FN2
k|x|cosα
Mg+mg+kxsinα

当x=-A时,上式右端达到最大值,于是有:
μ≥
(kL+4mgsinα)cosα
4Mg+4mgcos2α−kLsinα


答:(1)物块处于平衡位置时弹簧的长度为l+
mgsinα
k

(2)证明如上;
 (3)弹簧的最大伸长量为
l
4
+
2mgsinα
k

(4)为使斜面始终处于静止状态,动摩擦因数μ应满足的条件为:μ≥
(kl+4mgsinα)cosα
4Mg+4mgcos2α−klsinα

点评:本题关键是先对滑块受力分析,然后根据牛顿第二定律列式分析;最后对斜面体受力分析,确定动摩擦因素的最小值,难题


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