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红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日

1已有 630 次阅读  2014-02-15 20:14
(2008•扬州)红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表:
时间t(天)1361036
日销售量m(件)9490847624
未来40天内,前20天每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y1=
1
4
t+25(1≤t≤20且t为整数),后20天每天的价格y2(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y2=-
1
2
t+40(21≤t≤40且t为整数).
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题:
(1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式;
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程.公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大,求a的取值范围.

考点:二次函数的应用.
专题:压轴题;阅读型;图表型

分析:(1)从表格可看出每天比前一天少销售2件,所以判断为一次函数关系式;
(2)日利润=日销售量×每件利润,据此分别表示前20天和后20天的日利润,根据函数性质求最大值后比较得结论;
(3)列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润,根据函数性质求a的取值范围.

解答:
解:(1)设一次函数为m=kt+b,
t=1
m=94
t=3
m=90
代入一次函数m=kt+b中,
94=k+b
90=3k+b

k=−2
b=96

∴m=-2t+96.
经检验,其它点的坐标均适合以上解析式,
故所求函数解析式为m=-2t+96;

(2)设前20天日销售利润为p1元,后20天日销售利润为p2元.
由p1=(-2t+96)(
1
4
t+25-20)
=(-2t+96)(
1
4
t+5)
=-
1
2
t2+14t+480
=-
1
2
(t-14)2+578,
∵1≤t≤20,
∴当t=14时,p1有最大值578(元).
由p2=(-2t+96)(-
1
2
t+40-20)
=(-2t+96)(-
1
2
t+20)
=t2-88t+1920
=(t-44)2-16.
∵21≤t≤40,此函数对称轴是t=44,
∴函数p2在21≤t≤40上,在对称轴左侧,随t的增大而减小.
∴当t=21时,p2有最大值为(21-44)2-16=529-16=513(元).
∵578>513,故第14天时,销售利润最大,为578元;

(3)p1=(-2t+96)(
1
4
t+25-20-a)=-
1
2
t2+(14+2a)t+480-96a
对称轴为t=
−(14+2a)
2×(−
1
2
)
=14+2a.
∵t取1≤t≤20之内的整数,
∴对称轴14+2a满足20≤14+2a,p1也是随整数t增加而增加.
∴3≤a<4.

点评:(1)熟练掌握各函数的性质和图象特征,针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性;
(2)最值问题需由函数的性质求解时,正确表达关系式是关键.同时注意自变量的取值范围.
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